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背理法を使用して証明します。
（背理法：事象Ｐを証明する場合、『Ｐの否定が矛盾すること』を証明することによりＰを証明する。）
(1)『素数が無限にあること』の否定は『素数が有限個であること』です。『素数が有限個であること』の矛盾を証明します。
(2)素数が有限個（n個）だと仮定し、そのすべての素数を
A1,A2,A3・・・・・An
とします。
(3)このすべての素数を掛け合わし、さらに1を足した数をSとします。
S＝(A1×A2×A3・・・・・An)＋１
(4)Sは必ず素数になります。なぜならSはどの素数で割っても1が余るからです。
よって前提の『A1,A2,A3・・・・・An』以外に素数があるためこの前提が矛盾することになります。
よって前提の『素数が有限個であること』に矛盾が発生するため『素数が無限個であること』ということになります。
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